康爷的博客

既然有数学家宣称已经证明了黎曼猜想，那么作为一道世纪难题，不妨来看看黎曼猜想到底是什么玩意，为啥如此之重要。

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预备知识：

1.黎曼ζ函数

黎曼ζ函数 ζ(s)的定义如下： 设一复数 s ，其实数部份 ≥ 1 那么定义：

ζ(s)是一个解析函数。

关于黎曼函数，有两个有趣的结果：

a.

因为：

这是由算术基本定理保证的。

b.

当s是正整数时， 表示所有整数中任取s个数，并且它们互质的概率。

特别的，两个随机整数互质的概率是6/π²      1/ζ(2)=π²/6

2.素数定理

定义π(x)为不大于x的素数个数，如π(10) = 4 因为有4个质数 (2, 3, 5 和 7)比10小。

素数定理表明：

一个直接推论就是：从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。

黎曼猜想：

黎曼函数ζ(s)在s ≠ 1有定义，它的所有非平凡零点的实属部分都是½。

解释：

a.对于s ≠ 1，定义黎曼函数为

b.零点：即使得ζ(s)=0的点s。

c.非平凡零点：对于所有负偶数，s = −2, s = −4, s = −6, …ζ(s)=0，这些点称为ζ(s)的平凡零点，其余的零点成为不平凡零点。

黎曼猜想和素数

Helge von Koch 在1901年证明了黎曼猜想等价于素数定理一个可观的强化：给出任何 ε > 0，我们有

π(x)就是前面在素数定理中提到的那个函数。