学到质数，或者称为素数，应该是小学，初中的事。质数要求很严格，要求没有约数（除了自身和1），所以不是很多的。我自己读初中时，100以内的质数是需要背全的，可见不多，现背如下，考验考验自己的记忆呵呵：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47， 53，59，61，67，71，73，79，83，89，97

可以看见，越到后面质数越来越少，一个很自然的问题：质数有多少个？？

其实不自然啦，因为我问过很多人这个问题，没有人想到过这个问题，当然从这个角度可以写一篇批判应试教育的文章。。。我不高兴写了

在我问完这个问题之后，没人回答得出（废话，我当然是找回答不出的人问的～）。原因当然有二，一是这些被问者没听过解答，二就是这个问题并不简单。

公布答案：质数有无穷多个！！！

为什么？

本以为是个很难的题目，可是，两千多年前，有一位中国观众十分熟悉的人物叫欧几里德，把这个问题给解决了，而且解决得如此让人无话可说，感叹数学之妙，数论之美。

不过，千万别以为欧几里德画了两个圆把这个问题给解决了，如此的话欧几里德就是“古代几何数论”的开山鼻祖了。可是他现在是“欧氏几何”的鼻祖，当然还有一个和此有关的重要内容，也是搞计算机的同学们很早就会遇到的一个内容：欧几里德辗转相除法。

现证明如下：（这个证明我也自己写一遍～）

命题：质数有无穷多个。

证明：用反证法。假设质数只有有限多个，那么设质数共有n个，且分别是p1=2,p2=3,p3,p4…,pn。

考察p=p1*p2*p3*…*pn+1，显然p>pk(k=1,2,3,..,n)(理由：p>pk+1>pk)

由于质数只有n个，且p>pn，所以p不是质数。

然而，p又无法被任何一个质数pk整除（因为pk|p1*p2*..*pn，但pk不能整除1，所以pk不能整除p1*p2*..*+1=p），

于是p是质数，矛盾！

故原命题成立，即素数有无穷多个。   #

多说无益了，只有一句，欧几里德真伟大~

     新华社马德里7月21日电  第49届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)21日在西班牙首都马德里结束，中国队以总分217分的成绩获得团体第一名。俄罗斯队和美国队分列第二名和第三名。
    参赛的中国选手牟晓生、韦东奕、陈卓、张瑞祥和张成获得金牌，吴天琦获得银牌。共有3名参赛选手获得满分，其中2人来自中国。
    共有来自101个国家和地区的535名选手参加了本届比赛，结果47人获金牌，100人获银牌，120人获铜牌。

2007年全国高中数学联赛获奖名单

2008年中国数学奥林匹克（CMO）获奖名单

历届国际数学奥赛奖牌得主（上海）

牟晓生  上海中学 韦东奕  山师附中 张   成  华东师大二附中

张瑞祥  人大附中

这两天关于黎曼猜想的证明和证明的错误在数学界应该是引起了不小的反响，加之slashdot的报道，使得普通人对黎曼猜想也有所了解。黎曼猜想是克雷数学研究所千禧年七大数学难题之一，我们来看看什么是克雷数学研究所千禧年七大数学难题。

1900年，这个大年关里面，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。

2000年称为千禧年，更是一个重要的年关，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute,CMI） 在2000年5月24日公布了7道数学难题。根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金100万美元。

希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。相信克雷数学研究所千禧年七大数学难题也会对21世纪的数学、密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。

先看看希尔伯特的23个问题：

第一题
连续统假设
已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。

第二题
算术公理之相容性
已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。

第三题
两四面体有相同体积之证明法
已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。

第四题
建立所有度量空间使得所有线段为测地线
太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。

第五题
所有连续群是否皆为可微群
已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。

第六题
公理化物理
非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。

第七题
若 b 是无理数、a 是非0、1代数数，那么 a^b 是否超越数
已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。

第八题
黎曼猜想及哥德巴赫猜想
部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。

第九题
任意代数数域的一般互反律
部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的艾摩·阿廷（E.Artin）各有部份解答。

第十题
不定方程可解性
已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。

第十一题
代数系数之二次形式
已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。

第十二题
扩展代数数
已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。

第十三题
以二元函数解任意七次方程
已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。

第十四题
证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性
已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。

第十五题
舒伯特列举微积分（Schubert’s enumerative calculus）之严格基础
部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。

第十六题
代数曲线及表面之拓扑结构
未解决

第十七题
把有理函数写成平方和分式
已解决。1927年艾摩·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。

第十八题
非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列
已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”

第十九题
拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic）
已解决。1904年由伯恩斯坦（Serge Bernstein）解决。

第二十题
所有有界限条件的变量问题（Variational problem）是否都有解
已解决

第二十一题
证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group）
已解决

第二十二题
以自守函数（Automorphic functions）一致化可解析关系
已解决。1904年由科比和庞加莱取得解决。

第二十三题
变分法的长远发展
已解决

克雷数学研究所千禧年七大数学难题

• P对NP问题 （P versus NP） 即P和NP是否箱等。
• 霍奇猜想 （The Hodge Conjecture）
• 庞加莱猜想 （The Poincaré Conjecture），此猜想已获得证实。
• 黎曼假设 （The Riemann Hypothesis）
• 杨-米尔斯理论 （Yang-Mills Existence and Mass Gap）
• 斯托克斯方程 （Navier-Stokes Existence and Smoothness）
• 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 （The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）

Will John Nash retire?The Riemann Hypothesis may have been proved!
What is Riemann Hypothesis?
It seems that Xian-Jin Li’s proven is wrong…
Who is Xian-Jin Li？

在Xian Jin Li发布文章的网站：http://arxiv.org/abs/0807.0090 ，我们看到醒目的一行字：

Abstract: This paper has been withdrawn by the author due to a mistake on page 29.

恩，下面列了他的论文的几个版本，据说Version 4解决了陶哲轩的问题：

Submission history

From: Xian-Jin Li [view email]
[v1] Tue, 1 Jul 2008 19:43:13 GMT (20kb)
[v2] Wed, 2 Jul 2008 11:05:52 GMT (20kb)
[v3] Thu, 3 Jul 2008 03:44:03 GMT (20kb)
[v4] Sun, 6 Jul 2008 01:29:38 GMT (0kb,I)

可惜，在29页的错误给了Xian Jin Li致命的打击~下面我们再来回顾下Alain的问题：

I don’t like to be too negative in my comments. Li’s paper is an attempt to prove a variant of the global trace formula of my paper in Selecta.The “proof” is that of Theorem 7.3 page 29 in Li’s paper, but I stopped reading it when I saw that he is extending the test function h from ideles to adeles by 0 outside ideles and then using Fourier transform(see page 31). This cannot work and ideles form a set of measure 0inside adeles (unlike what happens when one only deals with finitely many places).

出问题的那个方程是：

We extend “h” to a function on “A” by defining h(lambda)=0 for lambda not in “J”.

Alain Connes

Will John Nash retire?The Riemann Hypothesis may have been proved!
What is Riemann Hypothesis?
It seems that Xian-Jin Li’s proven is wrong…

这两天，关于黎曼猜想 被证明的消息迅速地传播开去了，虽然说有顶尖数学家认为证明存在问题，可是作者XIAN-JIN LI又发表了论文的更新版，据说弥补了这个漏洞。

无论如何，我们来看看Xian Jin Li是何许人也：

Xian-Jin Li是93年Purdue University PHD
现为Brigham Young University 的Prof
当年phd dissertation就是关于Riemann Hypothesis的
而且曾在97年得到过一个Li’s Criterion，是和黎曼假设条件等价的一个判别法

这是目前通过论坛等方面得到的讯息，如果你了解他的话可以在评论中说一下~附上他的照片：

keyword:

xian-jin li, 黎曼猜想, Riemann Hypothesis

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貌似Xian-Jin Li的黎曼猜想证明是错误的
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黎曼猜想仍未被证明：Xian Jin Li已放弃他的论文

世界难题果然不是那么好就解决的，昨天还猜测黎曼猜想被证明了？？今天看到文章给人一当头棒喝。。。
今天搜Xian-Jin Li，想看看是否为华裔，结果搜出一篇文章：

Xian-Jin Li: a wrong proof of the Riemann hypothesis

文中举了两个人：Alain Connes和陶哲轩
首先是Alain Connes，法国大数学家，1982年菲尔兹奖获得者。
在他的blog上有人问他对于这个证明的看法，他的回复是：
I don’t like to be too negative in my comments. Li’s paper is an attempt to prove a variant of the global trace formula of my paper in Selecta.The “proof” is that of Theorem 7.3 page 29 in Li’s paper, but I stopped reading it when I saw that he is extending the test function h from ideles to adeles by 0 outside ideles and then using Fourier transform(see page 31). This cannot work and ideles form a set of measure 0inside adeles (unlike what happens when one only deals with finitely many places).
这位同志看到自己的文章被引用就急着翻到了那页，于是就看出了问题。。。。
不过又有人回复Alain同志：There is now a version 4 of Li’s preprint. I am curious if the newer versions addresses your concern.
So, to be continued.
然后是陶哲轩。。。又是一个菲尔兹奖获得者，他也是在回复某询问这个证明的时候说了话，不过他指出的错误是20页上的：

Terence Tao

It unfortunately seems that the decomposition claimed in equation (6.9) on page 20 of that paper is, in fact, impossible; it would endow the function h (which is holding the arithmetical information about the primes) with an extremely strong dilation symmetry which it does not actually obey. It seems that the author was relying on this symmetry to make the adelic Fourier transform far more powerful than it really ought to be for this problem.

看来。。。约翰纳什可能还有点事情干。。

[!toc]

预备知识：

1.黎曼ζ函数

黎曼ζ函数 ζ(s)的定义如下： 设一复数 s ，其实数部份 ≥ 1 那么定义：

ζ(s)是一个解析函数。

关于黎曼函数，有两个有趣的结果：

a.

因为：

这是由算术基本定理保证的。

b.

当s是正整数时， 表示所有整数中任取s个数，并且它们互质的概率。

特别的，两个随机整数互质的概率是6/π²      1/ζ(2)=π²/6

2.素数定理

定义π(x)为不大于x的素数个数，如π(10) = 4 因为有4个质数 (2, 3, 5 和 7)比10小。

素数定理表明：

一个直接推论就是：从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。

黎曼猜想：

黎曼函数ζ(s)在s ≠ 1有定义，它的所有非平凡零点的实属部分都是½。

解释：

a.对于s ≠ 1，定义黎曼函数为

b.零点：即使得ζ(s)=0的点s。

c.非平凡零点：对于所有负偶数，s = −2, s = −4, s = −6, …ζ(s)=0，这些点称为ζ(s)的平凡零点，其余的零点成为不平凡零点。

黎曼猜想和素数

Helge von Koch 在1901年证明了黎曼猜想等价于素数定理一个可观的强化：给出任何 ε > 0，我们有

π(x)就是前面在素数定理中提到的那个函数。

7月2日，Brigham Young大学的数学家XIAN-JIN LI在预印本网站arxiv上发表了一篇论文，宣称证明了黎曼猜想。这是一篇长达40页的完整证明，没有摘要，同行可能需要花点时间去验证和检验。黎曼猜想是克雷数学研究院的千禧年七大难题之一，它提供了百万美元奖励给证明者。而在3个月前，Bristol大学的学生Ce Bian首次证明了有助于解决黎曼猜想的3维超L函数。

黎曼猜想：

ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。

黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、杨―米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为21世纪七大数学难题